|
■ 今月読んだ本
|
第１５３回 さっぱりわからない現代数学が面白い － 理系本を読む（下）
|
|
1900年、第２回国際数学者会議（ＩＣＭ）において、実力と名声の頂点にあったヒルベルトは当時未解決だった23の問題を発表した。2000年、アメリカのクレイ数学研究所によって、７つの未解決問題に100万ドルの懸賞金がかけられた。「ヒルベルト問題」のうち６問題は１世紀後も未解決であり、「ミレニアム問題」には前者のリーマン予想が含まれている。
「ヒルベルト問題」や「ミレニアム問題」の内容を細部まできちんと理解できるのは、10万人のうち１人いるだろうか。（鳥取県で６人もいるとは思えない。友人の数学博士に尋ねると、「よくわからん」との答え。）
現代数学はとても難しい。「ヒルベルト問題」のリストを眺めている素人の私は、第１問題「ゲオルグ・カントールによって提起された連続体仮説」でいきなり躓いてしまう。想像を超えた分野だ。
本稿は、さっぱりわからない現代数学が実はとても面白そうだ、ということを何とか伝えようとする試みである。そもそも自分自身がよくわかっていないことがらを他人にうまく伝えられるのだろうか。
ここで取り上げるのは、フェルマーの定理、ポアンカレ予想、リーマン予想。
フェルマーの定理は、３つの中では最もよく知られている。「私はこの命題の真に驚くべき証明をもっているが、余白が狭すぎるのでここに記すことはできない」というメモは有名だ。古代ギリシアの数学者ディオファントス『算術』の余白に残されたのが1637年頃。
数学の定理で最も有名なものは何か。この種の世論調査？結果を目にしたことはないが、ピタゴラス（三平方）の定理がトップに違いない。数学の定理をいくつも並べることのできる人はそうはいないので、「わからない」という圧倒的多数の回答の中に、ごくまれにピタゴラスの定理が混じるのが実態だろう。算数・数学教育の中で「定理」と名がつき、しかも記憶に残るものは、これしかないからだ。
「すべての直角三角形において、（底辺の２乗）＋（高さの２条）＝（斜辺の２乗）が成り立つ。」例えば、底辺、高さをそれぞれ３、４とおけば、９＋１６＝（斜辺の２乗）となるので、斜辺は５である。こんな授業を受けた記憶を多くの人々が共有しているのではないか。
フェルマーの定理はピタゴラスの定理によく似た形だが、趣が少し異なる。「ｎが３以上の整数のとき（整数とは０、±１、±２…のこと）、
Xn＋Yn=Znを満たす整数x 、y 、z の組は存在しない。」
ピタゴラスの定理は「n=2 のとき、整数x 、y 、z の組は無限個存在する」と言い換えることができるが、フェルマーの定理では「
ｎが3以上のとき、整数 x、y 、z の組が一つも存在しない」。「無限個存在する」と「一つも存在しない」とでは、後者の方が圧倒的に扱いにくい。１億桁まで調べて存在しなくとも、１億１桁目で存在するかもしれない。数え上げでは証明は不可能だからだ。
サイモン・シン『フェルマーの最終定理』（1997、新潮文庫2010、青木薫訳）は間違いなく名著だ。青木薫は前回取り上げた名翻訳家、サイモン・シンは本書以外に『暗号解読』、『宇宙創成』で世界的に有名な科学ライターである。
それぞれケンブリッジ大学で素粒子物理学、京都大学で原子核物理学の博士号を取っているシンと青木。一流の理系頭をもってしても、フェルマーの定理を理解するのは至難の技だっただろう。こんなことを言うのは失礼だが、シンも青木も定理の証明を細部までは理解していないはずだ。世界中の数論の専門家が挑戦し続けた証明が、物理学専攻の人間にわかるはずもない。だからといって、本書の価値は一向に減じない。こんなにハラハラドキドキワクワクしたのは、私の読書歴の中でもそう多くはない。数学本では初めてだった。
フェルマーのメモから約360年後の1993年6月23日。ケンブリッジ大学の講義室で、10歳の時からフェルマーの最終定理に魅せられたアンドリュー・ワイルズ（1953－）は、７年間自宅の屋根裏部屋にこもって挑戦し続けた証明を発表した。講義の最後、200人以上の聴衆に向かって「ここで終わりにしたいと思います。」と静かに語った。数学の世界における歴史的瞬間だった。ワイルズは一夜にして「世紀の大数学者」となる。『ニューヨーク・タイムズ』、『ル・モンド』等が一面で大きく取り上げ、マスコミのお祭り騒ぎに沸いた。
しかし、ワイルズの証明に対して、「小さな問題点」が指摘される。ワイルズ自身の表現によれば、「モジュラー形式に付随する対称平方表現に関する半安定の場合でセルマー群の元の正確な上限を計算する最終段階が完全ではありません」（402頁）となる。さらに、著名な数学者がフェルマーの定理が成り立たないことを証明した、という電子メールが世界中を駆け巡る。
崖っぷちまで追いつめられたワイルズは、サヨナラ満塁ホームランをかっ飛ばした。1994年9月19日の朝11時頃、コリギャバン＝フラッハ法と岩澤理論を補い合うことによって、完全な証明を成し遂げた。
最後の15ヶ月間のドラマはとてもスリリングだが、本書の優れた点はそれだけではない。ワイルズの最終証明に至る道筋の記述は、500頁弱のうち４割ほどである。残りの部分では、３世紀を超えるオイラー、ガロアら天才数学者の苦闘が活写されるのだ。
とりわけ、第Ⅴ章「背理法」は忘れがたい。自ら命を絶った谷山豊（1927－58）の生涯と、谷村の死後、楕円方程式とモジュラー形式に関する谷村＝志村予想に命を吹き込んだ友人の志村五郎の姿が詳しく描かれる。ワイルズは、谷村＝志村予想を証明することによって、フェルマーの最終定理を証明した。言い換えれば、谷村＝志村予想がなければ、フェルマーの定理は証明できなかったのである。
故谷村豊、志村五郎、故岩澤健吉、宮岡洋一（1988年にフェルマーの定理を証明したと世界中で報じられた）ら日本人数学者の礎によって、数学界最大の問題は証明された。オリンピックやサッカー・ワールドカップのように、学問の世界でも勝ってほしい、とまでは思わないが、金儲けやナショナリズムに全くつながらない純粋基礎研究の強さに、とても誇らしい気持ちになった。
ポワンカレ予想は、フェルマーの定理に比べるとさらに難しい。1904年、フランスの偉大な数学者ポワンカレは一篇の論文を発表し、「滑らかで単連結な３次元多様体は、３次元球面と微分同相である」と述べた。ここで扱われた３次元球面とは４次元球の表面である。
マーシャ・ガッセン『完全なる証明－100万ドルを拒否した天才数学者』（2009、文春文庫2012、青木薫訳）、ジョージ・Ｇ・スピーロ『ポワンカレ予想－世紀の謎を掛けた数学者、解き明かした数学者』（2007、ハヤカワ文庫2011）は、ポワンカレ予想をめぐる労作だ。
ポワンカレ予想が突如有名になったのは、ロシア人数学者の出現によってである。2002年から翌年にかけてインターネット上で発表した３本の論文によって「ミレニアム問題」の証明を成し遂げたペレルマンは、100万ドルの賞金を断ってしまう。さらに、フィールズ賞（数学のノーベル賞）を辞退し、勤務していた研究所も辞めて森へ消えてしまった。
ともにユダヤ人であるガッセンとペレルマンは同じ年に生まれ、反ユダヤの風潮の中、数学学校に通った経歴も共通している。ガッセンはアメリカに移住するが、ペレルマンはソ連・ロシアに留まる。ガッセンが克明に描くペレルマンの半生によって、読者は、なぜペレルマンが森へ消えたのか共感できる。ただひたすら数学の世界に沈潜し、ついに世紀の難問を証明して純粋な喜びを得た彼が、紙とペンの世界の外に渦巻く名誉と権力をめぐる争いにうんざりして、再び純粋数学の世界に閉じこもる。
ペレルマンの怒りと悲しみは無理もない。2006年、二人の中国人数学者（曹懐東、朱熹平）が「ポアンカレおよび幾何化予想の完全な証明－リッチ・フローに関するハミルトン＝ペレルマン理論の応用」と題する論文を発表した。彼らは、ペレルマンはポワンカレ予想の証明の基礎を与えたが、最後の詰めは自分たちが行った、と主張したのである。ところが、この論文はペレルマン論文に関する別の数学者による解説を剽窃したものだった。
ペレルマンのみに焦点を当てた『完全なる証明』とは異なり、スピーロ『ポワンカレ予想』では証明への過程が丁寧に描かれる。
1960年代に入り、５次元以上についての証明がなされた（1961年に山菅弘がイギリス・アメリカの数学者とは独自に証明）。その時点で、ポワンカレによる予想から半世紀を経ていた。それから20年後の1982年、４次元の証明が発表され、残すは３次元だけとなった。さらに20年がたち、ハミルトンのリッチ・フロー概念に基づいてペレルマンは証明を完成した。ペレルマンにとってのリッチ・フローとは、ワイルズにとっての谷村＝志村予想であった。
青木の「訳者あとがき」、「文庫版のための訳者補記」によれば、ペレルマンは森に消えたわけではない。サンクトペテルブルグ近郊のアパートに母親と静かに暮らしているという。また、2007年にＮＨＫで放映された「数学者はキノコ狩りの夢を見る～ポワンカレ予想・100年の格闘」、「100年の難問はなぜ解けたか～天才数学者失踪の謎～」が、ポワンカレ予想は「宇宙の形に関する予想」であるかのように説明しているのは間違いだという。これらの番組を観た私は、この６年間、ポワンカレ予想とは宇宙の話だと思い込んでいた。ガッセンとスピーロの本を読んでも、ＮＨＫ特集のような話が一向に出てこないので、不思議だったのだ。
数学の世界から離れるが、私は、ペレルマンの純真な精神にサリンジャーのそれを重ね合わせてしまう。田舎の広大な敷地で隠遁生活を送り、厖大な作品群を発表することなくひたすら書き続けているサリンジャーと同様に、ペレルマンもまた大きな問題にひそかに挑戦し続けているのではないか。（サリンジャーの晩年については、スラウェンスキー『サリンジャー 生涯91年の真実』（2010、晶文社2013）参照。サリンジャー好きにはたまらない本だ。）
未解決のリーマン予想は、「素数をすべて求めたい」という果てしない夢に関わる。素数とは、１以外の自然数２、３、４…のうち、約数が１とそれ自身しかない数である。例えば、６は１、２、３と６で割り切れるので素数ではないが、７は１と７以外では割り切れないので素数である。
素数が無限個存在することは、高校数学で証明できる。では、素数の現れ方には規則性はあるのか。
非ユークリッド幾何学（リーマン空間）によってアインシュタインの相対性理論を数学的に準備したリーマンは、1859年にわずか10頁の論文で、ゼータ関数の零点の実数部分がすべて
「2分の１」の直線上に存在する、と予想した。
オックスフォード大学教授マーカス・デュ・ソートイによる『素数の音楽』（2000、新潮文庫2013）は、リーマン予想に対する挑戦史だ。600頁を超える大著にもかかわらず、一気に読める。読後感は爽快だ。もちろん、ゼータ関数の理解は一向に進まなかったが。
素数は、現代社会に不可欠なものだ。インターネットなどのデジタル・テクノロジーに用いる公開鍵暗号は素数を用いている。国家機密は素数によって守られているといって過言ではない。また、リーマンの零点は、量子物理学におけるエネルギー準位と関係があるらしい。素数は、数論という象牙の塔の外へ歩み出している。
『素数の音楽』を補足するために読んだのが、黒川信重『オイラー、リーマン、ラマヌジャン－時空を超えた数学者の接点』（岩波科学ライブラリー、2006）。数式を追っていくと何となくわかる部分もあるが、ワイルズによるフェルマーの定理の証明方針が「ゼータ統一」につながり、「ゼータ統一」の様子が物理学の「四つの力の統一」予想に類似していると言われても、チンプンカンプン。
あまりにこってりした料理を食べ続けて消化不良に陥ったので、ここは一つあっさりした和食を、というわけで、上野健爾『円周率が歩んだ道』（岩波現代新書、2013）を読む。円周率πについて、古代中国、古代ギリシアから説き起こし、イスラム世界、インド、江戸期の日本、近世ヨーロッパ、金・宋・元・明・清、江戸期の日本、近世ヨーロッパ、現代までを概観する博覧強記にはめまいを覚え、かえって胃もたれになってしまった。
ともあれ、２ヶ月ほど続いた私なりの数学月間も終わった。内容の半分も理解できなかったが、数学にかける人々の情熱には圧倒され続けた。そろそろ通常モードに戻ろうと思うのだが、もうすぐ『四色問題』（ベストセラー『容疑者Xの献身』で犯人がこのタイトルの本を読んでいた）、『ケプラー予想』が文庫版で刊行される。当分の間、穏やかに思想書を繙くことはできそうにない。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
岩田 直樹
(いわた なおき)
|
| 高校で数学を教える。十代後半から二十歳過ぎまでは人並みに小説を乱読したが、それ以降は、現象学からはじめて、思想書をゆっくりと読み進んでいる。 |
|
back number
|
|
|
告知板
|
|
|
バックナンバーヘ
