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■ 今月読んだ本
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第１６０回 問題を解くのは人であって方法ではない（ポアンカレ）
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例年に比べ今夏は涼しかったが、そうは言っても夏には七面倒な本を読む気にはならない。９月になって急に、数学の本を読もう、と思い立った。過ごしやすい季節が到来し、少しずつ脳が活性化しはじめたのだ。
昨年は現代物理学と現代数学の解説書に挑戦したが、今年は専ら数学に特化した。読んだ順に列挙する。ロビン・ウィルソン『四色問題』（原著2002、新潮文庫2013）、ジョージ・Ｇ・スピーロ『ケプラー予想－四百年の難問が解けるまで』（原著2003、新潮文庫2014）、黒川重信・小山信也『ＡＢＣ予想入門』（ＰＨＰサイエンスワールド新書2013）、マーカス・デュ・ソートイ『シンメトリーの地図帳』（原著2008、新潮文庫2014）、Ｅ・Ｔ・ベル『数学をつくった人々（全３巻）』（原著1937、ハヤカワ文庫2003）。
「なぜ、エベレストに登るのか」と問われて、ヒラリー、テンジンより30年も先んじてエベレストに登攀した可能性のあるマロリーは、「そこにエベレストがあるから」と応じた。この逸話はあまりに有名だが、マロリーの人を食ったような回答は、ナンセンスであると同時に本質的な深さに達しているとも言える。
「なぜ、数学の本を読むのか」と問われたならば、私は「この不思議な世界の謎を少しでも知りたいから」と答えるだろう。日常的に哲学、思想の本を読むのも、同じ動機からだ。もう一言付け加えるとすれば、「人間の営みの歴史に思いを馳せたいから」となろうか。
「世界の不思議」と「人間の営み」。実は、哲学も数学もこの２つの軸をめぐって相克が繰り広げられたのであるが、そのことには後ほど触れる。
数学の世界における超難問は、往々にして単純な問いかけからはじまる。四色問題、ケプラー予想ともその例に漏れない。
1852年、ド・モルガンがハミルトンに宛てて書いた一通の手紙が、四色問題の誕生を記録している。（数学、物理学をかじったことのある人で、この２人を知らない人はいない。）
ド・モルガンの学生フレデリック・ガスリーが質問に来た。兄フランシスが主張するには、一つの図形を任意の方法で分割して各部分に色を塗るとき、境界線を共有する部分どうしが違う色になるようにすると、五色以上必要になることはない。四色以下で塗り分けられるその理由を教えてほしい、と言うのだ。
1880年、登山家としても名高いケンプが『アメリカ数学ジャーナル』に四色問題の証明を発表。たちまち数学神話の一つとなった。しかし、その10年後に、ヘイウッドがケンプの証明に綻びを見つける。四色で塗り分けられない反例を提示したのだ。その代りに、ヘイウッドは五色定理「五色あれば、どんな地図でも隣り合う国々が違う色になるように塗り分けることができる」を完璧に証明した。その際に用いたのが「ケンプ鎖」であり、ケンプの名誉は回復される。
四色問題という未踏峰への挑戦は、遅々として進まなくなった。1968年までに40個以下の地図の塗り分けが四色で足りることが証明されたに過ぎない。四色問題は、グラフ理論における最も有名な未解決問題となっていた。
1976年、アッペル、ハーケンとコッホは、ヘーシュが開発した「放電法」を用い、イリノイ大学のＩＢＭコンピュータを1200時間走らせ、ついに「1936個の可約配置の不可避集合の構築に基づく四色問題の証明」を発表する。ちなみに、コンピュータの出力紙を積み上げると、４フィート（1.2メートル）の高さになったという。翌年、100頁の概説と100頁の詳説、700頁の予備的研究からなる膨大な論文が、『イリノイ数学ジャーナル』に掲載された（1482個に改良）。
しかし、問題提起から124年後の解決で「めでたし、めでたし」とはならなかった。
当のアッペルですら、「これはひどい数学だ。数学は簡潔でエレガントであるべきなのに！」という批判に賛同した。コンピュータを使わない証明ができれば、それに越したことはない、と。
ケプラー予想は、四色問題と同様に、きわめて単純な問いである。
1590年代、英国貴族ローリーは、親友で側近だったハリオットに、「船倉に最も効率よく砲弾を積み込む方法を考えてくれ」と頼む。ハリオットは、この「３次元球の最密充填」問題について、プラハのケプラーに手紙を書いた。ケプラーは、八百屋がメロンを積み上げる方法と同じだという結論を得て、1611年に友人に宛てた小冊子の中で発表した。ケプラー予想（最密充填率74.05％）の誕生である。
ところが、これがとんでもない超難問だったのだ。「２次元円の最密充填」問題が解かれたのが、なんと329年後の1940年。トートによる証明によると、六方格子の充填密度は90.69％となる。なお、この証明にはコンピュータは用いられていない。
３次元球となると、累々とした証明の屍が積み重なった。ニュートンもガウスも挫折したのだ。（この２人にアルキメデスを加えると、人類史上における三大数学者となる。）
最密充填率の上界は1929年にブリックフェルトが84.3％、1946年にはランキンが82.7％まで達したが、ケプラー予想の74.05％との差を埋めるのは絶望的だった。
ここでも四色問題と同様に、偽の証明が登場する。1991年、シアンが「Ｖセル分割」を用いて、局所的な密度が74.05％より大きくなるような充填配置は存在しないという一般的な結論に到達したというのである。しかし、シアンの証明には論理の破綻、ごまかしがあった。ケプラー予想を証明したヘールズによれば、シアンの主張は「われわれに見える山麓の丘がせいぜい1000フィートなら、雲に隠れた山頂が1250フィートを超えることがない」ことを証明できるくらいナンセンスだという。
いよいよ真打ち登場である。講演中とその晩眠っているときに、ヘールズの頭に突如アイデアが浮かんできた。ケプラー予想の証明を最適化問題として五つの部分に分割する構想である。シンプレックス・アルゴリズムを繰り返すには、コンピュータなしでは不可能だ。（ケプラー予想の証明にコンピュータを使うことを提起したのは、トートだった。）第４部までは順調に解決されたが、第５部は計算機実験の専門家ファーガソンの力を借りなければならなかった。第５部だけで３年をかけた。コンピュータのエラーを防ぐために、プログラムは別々に二度書き、コンピュータも別々の機種を用いた。
ついに1998年、ケプラー予想は証明された。５年もの間、コンピュータを使ってあらゆる場合を調べつくしたのである。ケプラーの問題提起から387年後の歴史的偉業であった。
しかし、「コンピュータによる証明はもうたくさんだ」との批判が殺到した。1995年に、人間の頭とペンでエレガントに証明されたフェルマーの最終定理と比べられた。「フェルマーの最終定理に関するワイルズの証明は『戦争と平和』のようなものであり、ケプラー予想に関するヘールズの証明は電話帳のようなものである」と。
ヘールズやファーガソンは反論する。今や、コンピュータによる証明は数学の進展にとって極めて重要である、と。
『四色問題』や『ケプラー予想』を読んでいたときは漠然としか気づいていなかったのだが、『数学をつくった人々』を読了して、確信に変わったことがある。先ほど言及した「世界の不思議」と「人間の営み」の２つの軸である。
「ベル多項式」で有名なベルの『数学をつくった人々』は、ディオゲネス・ラエルティオスの『ギリシア哲学者列伝』（岩波文庫、全３巻）に匹敵する。２つの著作には３つの共通点がある。第１に、掛け値なしの名著であること。読んでいてワクワクする。第２に、多くの人物が登場する列伝であること。各章１人ずつで『ギリシア』では82人、『数学』では29人が主人公を演じる。両著ともに邦訳でおよそ1200頁にもなる大著である。第３に、前史で終わっていること。当然、前者にはアウグスティヌスもデカルトもハイデガーも描かれていない。もちろん後者にはゲーデルもワイルズもペレルマンも登場しない。
『数学』第３巻には、ベルの慧眼に大いに感服した箇所がある。これを読みたくて、1200頁もの長い道のりを息絶え絶えで辿ってきたのだ、と思わせる一節である。少し長いが引用する。
「数学者は二つのタイプにわかれる。「われわれは……することができる」派は、（おそらく無意識のうちに）数学は純粋に人間がつくり出すものだと信じている。一方、「存在」派は、数学は超人間的な存在をそれ自体として持っているのであって、「われわれ」は人生の旅路において数学の「永遠の真理」にただ出くわすだけだ－それはちょうど街を散歩している人が、自分が計画してつくったわけでもない数多くの街路をよぎって過ぎるようなものである－と信じている。」（332－333頁）
コンピュータを用いた証明を是認する数学者は、「世界の不思議」を力づくで追い求めている人々である。「力づく」という点では、全周30キロメートルにわたるサイクロトロン（ＣＥＲＮ）、地下1000メートルに設置されたスーパーカミオカンデを用いて素粒子を発見・解析する現代物理学と方向性は同じである。
数学における「われわれ」派と「存在」派の代表格は、それぞれクロネッカーとカントールである。クロネッカーによれば、πや無理数は存在しない。数学は、有限回の一連の手続きによって、人間が構成していくものだ。一方、カントールによれば、無理数、連続性、極限、無限は非構成的に存在する。クロネッカーの鋭い攻撃によって、カントールは精神を病んだほどだ。
「われわれ」派の圧巻は、『シンメトリーの地図帳』で描かれる有限単純群の分類だろう。およそ100人の数学者が500篇もの論文を書き、総頁数は1万5000頁に上った。勝利宣言が出されたのが1980年であった。2012年には京都大学教授・望月新一が500頁を超える大論文によって「ＡＢＣ予想」を証明したとされる（査読・検証は現在進行中。『ＡＢＣ予想入門』を丹念に読んだ私は、残り150頁の地点で挫折した。）
哲学ではどうだろう。われわれの想像を超えた「何か」が世界には存在する。「存在」派＝非構成派の代表は中世神学である。ここ100年を振り返ると、ハイデガーの「存在」、メルロ＝ポンティの「肉」、レヴィナスの「無限」などが続く。「われわれ」派＝「構成」派の代表選手は、もちろんサルトルだ。常に自分自身（即自）や過去を乗り超えようとする人間存在（対自）は、絶対的な「存在」を否定する。アンガージュマンこそが人間が人間たる証しである。
私は、人間の悲惨さと偉大さを描いたパスカルのあまりに有名な言葉「人間は考える葦である」を思い起こす。人間は葦のようにとても弱い存在である。しかし、考えることが人間を悲惨な存在から偉大な存在へと変貌させる。デカルトの「私は考える、ゆえに私は存在する」は近代を切り拓いたのだ。
神は人間がつくり出すものだ。最悪の政治形態－但し、他のあらゆる政治形態を除けば－である民主主義もしかり。数学は、そして哲学は……。
「存在」派にも魅力はあるが、私は「われわれ」派に心が少しだけ傾く。問題を解くのは、あくまで人間であるのだから。
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岩田 直樹
(いわた なおき)
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| 高校で数学を教える。十代後半から二十歳過ぎまでは人並みに小説を乱読したが、それ以降は、現象学からはじめて、思想書をゆっくりと読み進んでいる。 |
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